为什么这么慢：一笔账

把渲染一张图掰成算术题

路径追踪慢，不是写法烂，是计算量本来就大。把这笔账精确化：

量	数值
分辨率	$1024 \times 768 = 786432$ 像素（约 80 万）
每像素采样	$1000$ 条路径
每条路径平均弹射	$8$ 次
总射线数	$786432 \times 1000 \times 8 \approx 6.3 \times 10^9$

约 60 亿次射线-场景求交，这就是一张干净画面的代价。注意每”弹射一次”都要重新做一次最近交点查询，所以路径长度直接乘进总射线数。

为什么采样得那么多：蒙特卡洛的 $1/\sqrt{N}$ 律

渲染方程的积分用蒙特卡洛估计，估计量的标准差按

$\sigma_N \;\propto\; \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$

衰减，其中 $N$ 是采样数、$\sigma$ 是单次样本的标准差。把噪声降到一半需要把 $N$ 翻 4 倍——这就是旁白里”采样翻四倍，噪声才减半”的数学根源。它和像素数无关，是蒙特卡洛方法的内在规律，适用于任何蒙特卡洛积分。

代价换算：要把噪声再降一半，渲染时间要 ×4。所以”干净”是指数级烧出来的：

目标噪声（相对）	需要的采样数	相对时间
$1.0$	$N$	$1\times$
$0.5$	$4N$	$4\times$
$0.25$	$16N$	$16\times$
$0.125$	$64N$	$64\times$

这是为什么电影一帧能渲染几小时：他们要的噪声水平远低于 1%。

“无偏”的代价

俄罗斯轮盘赌保证了无偏估计（期望值正确），代价是方差大、收敛慢。有偏方法（比如限死最大弹射次数、加环境光近似）能更快出干净图，但物理上不正确。smallpt 选择无偏，所以慢得”理直气壮”。

易错点

• 路径弹射次数 × 采样数才是真正的射线量。只看像素数会严重低估。平均 8 次弹射这一项，就把射线数从约 8 亿抬到约 60 亿。
• $1/\sqrt{N}$ 针对的是标准差（噪声幅度），不是误差本身。对无偏估计，标准差就是噪声；对有偏估计还要另算偏差。
• 工业级慢的不是原理，是场景规模。smallpt 只有 9 个球，暴力遍历就够；真实场景上百万三角形，单条射线求交就要 BVH 加速结构，但积分那张账还是一样的算。

参考

• 蒙特卡洛积分（维基百科）
• Inverse-square-root convergence of Monte Carlo

九个球拼出一个房间

为什么只用球体

smallpt 全场景只有 9 个球，没有别的几何类型。这不是图省事，是为了让求交代码只写一遍：所有几何体走同一条射线-球求交路径，99 行才装得下。代价是”墙”也得用球凑。

半径十万的大球当墙

球面是弯的，墙是平的。当半径大到 $10^5$ 量级，球面上的一小段弧——相对半径只占千分之几——曲率趋近 0，肉眼就是平面。左墙球心在 $x = 100001$、半径 $10^5$，球面最靠近房间的点是

$x_{\text{最近}} = 100001 - 100000 = 1$

于是这个巨型球从外面”顶住”了 $x=1$ 这面墙。其余五面墙同理，方向相反的球顶住各自平面。房间宽约 98，相对半径仅约 $0.1\%$，曲率可忽略。

角色	半径	数量	作用
六面墙	$1\times10^5$	6	从外侧顶住房间各面（左红右蓝余白）
镜面球	$16.5$	1	镜面反射
玻璃球	$16.5$	1	折射
光源	—	1	自发光

合计 9 个球。前墙颜色设为黑（不发光不反光），等于这面”不存在”，房间开口朝相机才看得见里面。

每条射线都要和 9 个球分别求交

没有加速结构，每条射线对 9 个球逐个求解、保留最近命中。对单个球，求交是射线方程 $P(t)=o+td$ 代入球面方程 $\|P-C\|^2=r^2$，得到关于 $t$ 的一元二次方程：

$(d\cdot d)\,t^2 + 2\big((o-C)\cdot d\big)\,t + (o-C)\cdot(o-C) - r^2 = 0$

方向 $d$ 归一化后 $d\cdot d=1$，判别式决定命中与否：$<0$ 未命中，$\ge 0$ 取较小的正根作为最近交点。9 个球各算一遍取最小 $t$，没有命中返回 0。

为什么暴力遍历够用

只有 9 个球，单条射线 9 次求交耗时极短，暴力遍历就是最优解，加速结构（BVH、kd-tree）的构建开销反而更高。这是场景规模决定的，不是偷懒。换到上百万三角形的真实场景，才必须用层次包围盒把绝大多数几何提前剪掉。

易错点

• 墙的位置不是球心位置。左墙球心在 $x=100001$（很远），墙实际在 $x=1$（球面最近点）。看球心坐标会误以为墙在十万开外。
• 半径不是越大越好。$10^5$ 够平且数值稳定；改用 $10^{10}$ 会因巨数相减（球心减半径）丢有效数字（IEEE 754 灾难性抵消）。
• 9 个球包括光源。光源也是一个普通球，只是材质的自发光项 $e\ne 0$，求交逻辑和墙、镜面球完全一样。

参考

• Cornell box（维基百科）
• 射线-球求交（维基百科）
• Bounding volume hierarchy（BVH 加速结构）

与 Raymarching 的全面对比

两者都属于光线追踪大类（从相机发射射线、与场景求交），但设计目标完全相反：Raymarching 追求实时（毫秒级），路径追踪追求物理正确（分钟到小时级）。下面逐项拆开差异的技术根源。

1. 运行平台：GPU 实时 vs CPU 离线

Raymarching 跑在 GPU 片元着色器里，每个像素一条射线、上千个像素并行，16 ms 内画完一帧、可实时交互。路径追踪在 CPU 上单线程离线跑，一张图几分钟到几小时。差异来自并行度和采样量：GPU 把”每像素独立”天然并行化，但每像素只发少量射线（实时没预算做上千次蒙特卡洛采样）；CPU 路径追踪每像素要发上千条射线才能压噪，单机算力远不够实时。

2. 几何表示：SDF vs 解析球

	Raymarching	路径追踪（smallpt）
几何	SDF（符号距离函数）	球体解析方程
图元	球、盒、圆环、胶囊等二十多种	只有球
布尔	平滑并集、差集（smin）	不支持
平面	直接 SDF 平面	用半径 $10^5$ 大球近似

SDF 的代价是距离场是近似的（除了基本图元），布尔运算会引入失真；解析球精确无误但几何单一。

3. 求交方式：球面追踪 vs 解析求解

这是最核心的算法差异。

Raymarching（球面追踪）：沿射线步进，每步查当前点的 SDF 值 $d$。因为 $d$ 是到最近表面的距离，直接跳过 $d$ 这么远一定不会穿墙——这就是”安全步进”。最多迭代 70 步，大多数射线 20 步内收敛：

float t = 0.0;
for (int i = 0; i < 70; i++) {
    float d = map(ro + t*rd);   // SDF 距离
    if (d < EPS) break;          // 命中
    t += d;                       // 安全跳过
    if (t > MAX_DIST) break;
}

优点对任何 SDF 通用；缺点有迭代开销，每步都要算一次 map()（场景里全部图元的最小距离）。

路径追踪（解析求解）：射线 $o+td$ 代入球面方程 $\|P-C\|^2=r^2$，得到 $t$ 的一元二次方程，一步出精确解，无迭代、无近似。但只对解析几何有效——能写出求交公式的几何才能这么算，球是其中最简单的一种。

一句话：球面追踪是迭代逼近，解析求交是一步精确；前者通用，后者高效。

4. 光照哲学：经验公式 vs 渲染方程

这是根本性的理念差异。

Raymarching 用经验光照模型——四个手工放置的光源（太阳光、天空光、背光、补光），明暗用朗伯（Lambert）漫反射 + 布林-冯（Blinn-Phong）高光，反射用施利克（Schlick）近似，阴影和环境光遮蔽（AO）也是单独近似叠上去。效果好看、可控、实时，但不是物理正确：光不会真的弹射，间接光照、颜色溢出（color bleeding）都得靠手工近似拼。

路径追踪直接数值求解渲染方程 $L_o = L_e + \int f_r L_i \cos\theta\,d\omega$。光线按材质随机弹射，间接照明、颜色溢出、透明折射全部自动涌现——不需要手工放光源（光源就是自发光球），不需要调经验参数。代价是蒙特卡洛噪声：标准差按 $1/\sqrt{N}$ 衰减，采样翻 4 倍噪声才减半，所以要慢得多。

5. 适用场景与融合

	适合
Raymarching	游戏、实时可视化、Shader 艺术
路径追踪	电影、建筑渲染、离线高质量图

两者互补而非替代。现代 NVIDIA RTX 在 GPU 上用硬件加速（RT Core 做射线遍历、Tensor Core 做 AI 降噪）跑路径追踪——把 GPU 的并行度和路径追踪的物理正确性合起来，再靠降噪器在低采样下补出干净画面，这就是二者融合的现代形态。

易错点

• “都属于光线追踪”≠ 算法相同。光线追踪是”从相机发射线”这一大类；路径追踪是其中”蒙特卡洛积分渲染方程”的子类，Raymarching 是”沿射线步进 SDF 求交”的另一支。两者求交和着色完全不同。
• “实时”和”正确”是 trade-off。Raymarching 的经验模型快但不物理；路径追踪物理但慢。RTX 不是凭空消除这个 trade-off，而是靠硬件并行 + AI 降噪在两者间取平衡。
• SDF 求交是近似。除了球、盒等基本图元，复杂布尔/平滑并集的 SDF 不再是精确距离，球面追踪的”安全步进”会失真，可能漏掉小特征或过冲。

参考

• Ray marching（维基百科）
• Path tracing（维基百科）
• Rendering equation（渲染方程，维基百科）
• NVIDIA RTX / DXR 硬件光线追踪