MVP 四次变换

一个顶点从模型文件里的局部坐标，变成屏幕上的像素坐标，要连续经过四次空间变换。本渲染器把矩阵命名为 UNITY_MATRIX_M、UNITY_MATRIX_M_V、UNITY_MATRIX_M_V_P、UNITY_MATRIX_VP——和 Unity URP 完全对齐。

四次变换的链路

模型空间 ─M→ 世界空间 ─V→ 观察空间 ─P→ 裁剪空间 ─÷w→ NDC ─视口→ 屏幕

每一步的含义：

变换	矩阵	从 → 到	干什么
模型	$M$	模型 → 世界	把物体摆到场景里（位置、旋转、缩放）
观察	$V$	世界 → 观察	换到相机视角，相机在原点朝 -Z
投影	$P$	观察 → 裁剪	把视锥压成立方体，引入透视
透视除法	÷$w$	裁剪 → NDC	把 $w$ 拉平，得到归一化坐标

合并写成一次矩阵乘（列向量约定，与 Unity HLSL 一致）：

$v_{\text{clip}} = P\,V\,M\,v_{\text{model}}$

注意乘的顺序：先 M 后 V 后 P，离顶点最近的 $M$ 在最右边。Unity HLSL 里是 mul(UNITY_MATRIX_MVP, v)，本项目代码沿用同样的顺序。

为什么要拆成三次而不是一次

理论上可以预先把 $PVM$ 乘成一个矩阵一次搞定。拆开是因为中间结果各有用途：

• 世界坐标（$M$ 之后）用来算光照——光源位置是世界空间的。
• 观察坐标（$V$ 之后）用来做视锥裁剪判断。
• 裁剪坐标（$P$ 之后）的 $w$ 分量存了深度信息，光栅化时做透视校正要用。

URP 也是分步算这些矩阵，本渲染器照搬这个分工。

透视除法为什么单独一步

投影矩阵 $P$ 的妙处在于把”远近”塞进 $w$ 分量。观察空间里 $z_{\text{eye}}$ 是深度，投影后：

$w_{\text{clip}} = -z_{\text{eye}} \quad (>0)$

除以 $w$ 之后，远处物体被压扁（坐标变小），这就是透视收缩（近大远小）的来源。但除法不能在裁剪之前做——裁剪（B05/B06）必须用裁剪空间坐标，因为裁剪面是线性的 $w \ge |x|,|y|,|z|$，除完 $w$ 这个性质就丢了。所以顺序固定是：投影 → 裁剪 → 透视除法。这是管线里”先裁剪再除法”的根本原因，不是随意的安排。

易错点

• 乘法顺序取决于向量约定。列向量（Unity/DirectX HLSL）是 $PVMv$，从右往左作用；行向量（OpenGL 旧式）是 $vMVP$，从左往右。本渲染器和 URP 一样用列向量，所以 P*V*M*v。
• $w$ 不一定是 1。模型顶点齐次坐标 $w=1$，但投影之后 $w=-z_{\text{eye}}$，是个随深度变化的值。后面所有透视校正（B07）都依赖这个 $w$。
• 观察空间相机朝 -Z。这是 OpenGL/Unity 约定（右手系，相机看向负 Z），所以 $w=-z_{\text{eye}}$ 才是正数。DirectX 左手系朝 +Z，符号相反，别混。

参考

• Graphics pipeline（图形管线，维基百科）
• Unity 内置矩阵（UNITY_MATRIX_MVP 等）
• Homogeneous coordinates（齐次坐标）

投影与裁剪盒子

视锥（金字塔视野）

相机能看见的区域是一个被六个平面切出的截头锥体（frustum）：近、远、上、下、左、右六个面。透视投影下它是个金字塔形（近小远大），正交投影下是长方体。

投影矩阵把视锥压成立方体

投影矩阵 $P$ 的作用，是把这个不规则的金字塔，线性变换成边长 2 的标准立方体（各坐标范围 $[-1, 1]$）。变换后的空间叫裁剪空间，做完透视除法后归一化设备坐标（NDC）就落在 $[-1,1]^3$ 这个盒子里。

 视锥（金字塔）          裁剪空间 / NDC（标准立方体）
      ╱╲        P,÷w         ┌─────┐
     ╱  ╲      ───────▶       │     │   x,y,z ∈ [-1,1]
    ╱    ╲                    │     │
   ╱______╲                  └─────┘

透视投影矩阵的形状

OpenGL/Unity 风格的透视投影矩阵（观察空间，相机朝 -Z）：

$$P = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\tan(\theta/2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\ar} \cdot \dfrac{1}{\tan(\theta/2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\dfrac{f+n}{f-n} & -\dfrac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

其中 $a$ 是宽高比、$\theta$ 是垂直视场角、$n$/$f$ 是近/远平面距离。关键在最后一行 $[0,0,-1,0]$：它把 $z_{\text{eye}}$ 复制到 $w$，所以

$w_{\text{clip}} = -z_{\text{eye}} \quad(\ge 0\text{，因相机前方 }z_{\text{eye}}<0)$

这个 $w$ 就是后面透视除法和透视校正（B07）的核心。

裁剪盒子：判断”在不在视野里”变得极简单

把视锥压成 $[-1,1]^3$ 立方体后，“点在不在视野内”从六个平面方程退化成六个简单比较：

$-w \le x \le w,\quad -w \le y \le w,\quad -w \le z \le w$

注意这是裁剪空间的判定（透视除法之前）。一个顶点只要六个不等式全满足就在视野内，任一违反就被裁掉。这就是把金字塔压成盒子的工程价值：复杂平面判定退化成坐标范围比较。

易错点

• 裁剪判断用裁剪空间坐标（带 $w$），不是 NDC。NDC 是除以 $w$ 之后 $[-1,1]$ 的结果，但除法会破坏裁剪面的线性，所以必须先在裁剪空间判定、再除。判定式是 $|x|\le w$ 不是 $|x|\le 1$。
• 近、远平面也在裁剪盒子的范围内。$z\in[-w,w]$ 同时约束了近平面（$z\ge -w$）和远平面（$z\le w$），不需要单独判断。
• 投影矩阵不是把”远”缩小，是 $w$ 让远处除完变小。透视收缩发生在透视除法，不是投影矩阵本身。投影矩阵只负责压盒子。

参考

• Viewing frustum（视锥，维基百科）
• Clipping (computer graphics)（裁剪）
• OpenGL Projection Matrix（投影矩阵推导）

裁剪的真实切口

把视野拉窄、让模型冲出画面，屏幕边缘的三角形会被整整齐齐切断——那就是裁剪的产物。本渲染器用的算法和图形管线经典做法一致：逐裁剪面处理，留下界内、丢掉界外，在边界上插值出新顶点。

为什么必须裁剪

投影之后（B05），视野内顶点满足 $|x|,|y|,|z| \le w$。如果一个三角形三个顶点全在视野外，光栅化时它要么画错位置（除以接近 0 的 $w$ 数值爆炸），要么把不该看见的部分画上来。必须在透视除法之前、裁剪空间里把超出盒子的部分切掉。

逐面裁剪（Sutherland–Hodgman 思路）

裁剪不是一刀切，而是对每个裁剪面各做一次。视锥有 6 个面（左/右/上/下/近/远），本渲染器总共处理 7 个面（标准 6 面 + 1 个额外平面）。每个面的处理逻辑相同：

对三角形的一条边 $(v_1, v_2)$，用该面的判定函数 $f(v)$（裁剪空间里就是 $x-w$、$x+w$、$y-w$ …… 这类线性式）分类：

$v_1$	$v_2$	输出
界内	界内	$v_2$
界内	界外	边与面的交点 $v_{\text{new}}$
界外	界内	交点 $v_{\text{new}}$，再 $v_2$
界外	界外	无

遍历三角形三条边得到新顶点列表，可能从 3 个变成 4 个（四边形）或退化。下一个面再对这个新多边形做同样的处理，7 个面顺次做下来，最终多边形完全落在裁剪盒内，再拆回三角形送去光栅化。

交点怎么算：线性插值

判定函数 $f$ 在裁剪空间是线性的，所以沿边 $v_1 \to v_2$，$f$ 从 $f_1$ 变到 $f_2$。它与面相交（$f=0$）处的参数：

$t = \frac{f_1}{f_1 - f_2} \qquad (0 \le t \le 1)$

新顶点的所有属性（位置 $x,y,z,w$、颜色、UV、法线、深度）都按同一个 $t$ 线性插值：

$v_{\text{new}} = v_1 + t\,(v_2 - v_1)$

因为这是在裁剪空间做的，连带 $w$ 一起插值，所以插值结果是透视正确的——这正好绕开了光栅化阶段”线性插值会扭曲”的坑（那个坑用 B07 的透视校正解决）。裁剪插值天然正确，因为 $w$ 还在。

易错点

• 裁剪必须在透视除法之前。一旦除掉 $w$，裁剪面就不再是线性的（$x/w \le 1$ 涉及除法），交点参数 $t$ 也算不准。所以管线顺序严格是：投影 → 裁剪 → 透视除法。
• 裁剪产生的不只是三角形。一次裁剪可能把三角形切成四边形，要拆成两个三角形再光栅化。多面顺次裁剪可能产生更多顶点。
• 插值 $t$ 用判定函数的比，不是距离的比。$t = f_1/(f_1-f_2)$，是因为 $f$ 沿边线性；如果误用顶点距离比会得到错误的交点位置。
• 近平面裁剪最关键。近处顶点的 $w \to 0$，透视除法会数值爆炸，所以近平面必须把这部分先切掉。

参考

• Clipping (graphics)（裁剪，维基百科）
• Sutherland–Hodgman algorithm（逐面多边形裁剪）
• Graphics pipeline: clipping stage

光栅化 + 重心坐标

包围盒 + 逐像素判断

把一个三角形变成像素，做法很直接：算出三角形顶点的轴对齐包围盒（AABB），只遍历盒内的像素，每个像素判断在不在三角形内。在的就着色，不在的跳过。这比遍历整个屏幕快得多——包围盒外一定不在三角形里。

重心坐标：判断在内 + 给出三个权重

三角形顶点 $A,B,C$，任意点 $P$ 的重心坐标 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 定义为：

$P = \alpha A + \beta B + \gamma C \qquad \alpha+\beta+\gamma=1$

三个分量可用面积比算（$\triangle$ 表示三角形面积）：

$\alpha = \frac{\text{area}(PBC)}{\text{area}(ABC)},\quad \beta = \frac{\text{area}(PCA)}{\text{area}(ABC)},\quad \gamma = \frac{\text{area}(PAB)}{\text{area}(ABC)}$

判定：当且仅当 $\alpha,\beta,\gamma \ge 0$ 时，$P$ 在三角形内（含边界）。代码里通常用叉积/行列式算，避免显式求面积：

// 用边向量和点到顶点的向量叉积判定
Vec3 v0 = B - A, v1 = C - A, v2 = P - A;
double d00 = dot(v0,v0), d01 = dot(v0,v1), d11 = dot(v1,v1);
double d20 = dot(v2,v0), d21 = dot(v2,v1);
double denom = d00*d11 - d01*d01;
double v = (d11*d20 - d01*d21) / denom;   // β
double w = (d00*d21 - d01*d20) / denom;   // γ
double u = 1.0 - v - w;                    // α
if (u>=0 && v>=0 && w>=0) { /* 在三角形内 */ }

重心坐标不只能判内外，它还顺手给出三个权重，把顶点的颜色、UV、法线、深度插值到每个像素：

$\text{attr}(P) = \alpha\,\text{attr}_A + \beta\,\text{attr}_B + \gamma\,\text{attr}_C$

透视校正：不能直接线性插值

这是和 Unity 一样的关键细节。透视投影下直接用屏幕空间重心坐标插值属性会出错——屏幕上等距的点，在世界空间并不等距（透视收缩把远处压密了）。

设顶点 $i$ 的属性 $a_i$、裁剪空间 $w_i$，正确做法是先除以 $w$ 再插值，最后再乘回 $w$：

$\frac{1}{w_P} = \frac{\alpha}{w_A} + \frac{\beta}{w_B} + \frac{\gamma}{w_C}$

$a_P = \left(\frac{\alpha\, a_A}{w_A} + \frac{\beta\, a_B}{w_B} + \frac{\gamma\, a_C}{w_C}\right) \Big/ \frac{1}{w_P}$

直观理解：除以 $w$ 把属性”拉回”线性空间，在这个空间里重心插值才正确，最后再乘 $w$ 还原。不做这步，贴图在斜面上会扭曲——近处拉伸、远处压缩。

深度（$z$）也是属性，同样要透视校正，否则深度测试（B08）的近大远小关系会错。

易错点

• 重心坐标在屏幕空间和世界空间不同。光栅化算出来的是屏幕空间重心坐标，直接用于世界空间属性就是错的——必须透视校正。
• 三个权重之和恒为 1。$\alpha+\beta+\gamma=1$ 是定义的一部分，算出三个后可用它做校验。
• 退化三角形要跳过。三个顶点共线时面积 $=0$，分母 denom 为 0，会除零。要么跳过要么用更稳健的判定。
• top-left rule 处理共享边。相邻三角形共享的边若两边都判”在内”会画两次、产生缝；标准做法是只在 top edge / left edge 判在内，避免双重绘制。

参考

• Barycentric coordinate system（重心坐标，维基百科）
• Rasterisation（光栅化，维基百科）
• Perspective-correct interpolation（透视校正插值）

深度测试

Z 缓冲：每个像素记一个深度

光栅化（B07）把三角形变成像素后，一个像素可能被多个三角形覆盖——谁该留？答案是深度缓冲（Z-buffer / Depth buffer）：和颜色缓冲同等大小的二维数组，每个像素存一个深度值。新像素想画上来，先和缓冲里已有的深度比：更近就覆盖颜色并更新深度，更远就丢弃。

这就是”车头正确挡住后面座椅”的原理：座椅先画进像素，车头后来、深度更小、覆盖上去；或者反过来先画车头，座椅想画时深度更大、被拒绝。绘制顺序不影响结果——这是 Z 缓冲相对于”画家算法”（按深度排序后画）的最大优势。

深度可视化：越近越白

把深度缓冲的值映射成灰度，就是旁白里那张图：越近越白，越远越黑。近处 $z$ 小、映射后接近 1（白），远处 $z$ 大、接近 0（黑）。这张图直接证明了深度缓冲确实在按距离存值。

默认比较函数：深度更小才通过

本渲染器的深度测试默认是 LessEqual（深度更小或相等才通过）——即近的挡住远的。对应 OpenGL 的 GL_LEQUAL、Unity 的 ZTest LEqual（URP 默认）。判定式：

通过 ⟺ depth_新 ≤ depth_缓冲中

通过则写入颜色、更新深度；不通过则丢弃。“小 = 近”是约定，源于相机看向负 Z、近处 $|z_{\text{eye}}|$ 小（B03）。

深度的非线性：透视校正后的 $z$

存进缓冲的不是观察空间的线性深度，而是透视除法后 NDC 的 $z$（范围 $[-1,1]$ 或 $[0,1]$）。投影矩阵把近处压缩、远处拉伸，NDC 深度和真实距离是非线性关系：

$z_{\text{NDC}} = \frac{1}{z_{\text{eye}}}\cdot(\text{常数}) + \text{偏移}$

后果：深度缓冲里 0.5 对应的真实距离不是近平面到远平面的中点，而是离近平面很近的位置。这意味着近处精度高、远处精度低——这是 z-fighting（两个很近的表面深度抖动闪烁）多发于远处的根本原因。24 位深度缓冲在远距离下区分不开相距很小的两个面。

易错点

• 要先清深度缓冲。每帧开头必须 clear depth buffer（通常清成最远值 1.0），否则上一帧的深度会污染本帧，出现”看不到物体”或乱序遮挡。
• “小=近”是约定，可改。深度比较函数可设成 Greater（远挡近，用于画天空盒或半透明）。本渲染器默认 LessEqual，和 URP 一致。
• 半透明物体不能简单用 Z 测试。玻璃半透明时不能直接覆盖近处像素，要先按从后到前画、用混合（blending）。Z-buffer 只解决不透明遮挡。
• z 缓冲存的是 NDC 深度，非线性。调试时把 $z$ 直接当线性距离会误判远近关系，尤其在远处。
• 深度写入（ZWrite）和测试（ZTest）是两件事。测试决定”能不能画”，写入决定”画完后要不要更新深度”。天空盒常设 ZWrite Off。

参考

• Z-buffering（深度缓冲，维基百科）
• Z-fighting（深度冲突）
• Unity URP ZTest / ZWrite