不变量排查法

什么是不变量

不变量（invariant）：在任何一套正确的坐标约定下都必须成立的量。排查坐标约定 bug 的难处在于：你不知道哪一端错了——训练端、导出端、查看器端，各有各的约定。凡是依赖某一端约定的观察（比如”PSNR 高不高”）都不能当证据，因为它们可能在同一套错误约定下内部自洽。只有不依赖约定的量才能当裁判。

四条常用几何不变量

• 地平线位置。相机无横滚（roll）时，世界中的水平面在画面上的投影位置由俯仰角唯一决定，与轴向、原点约定无关。约定错（翻转、俯仰符号错），它立刻跑位。
• 铅垂线方向。世界中竖直的边（墙棱、门框竖边）在无横滚相机的画面里必须严格竖直。旋转写错（比如绕错轴、手性错），竖边先歪——这是比地平线更灵敏的旋转探针。
• 平行线汇聚。世界中一组平行线在透视投影下交于同一消失点（vanishing point），这是射影几何的定理，不因约定而变。轴交换类错误会把墙线”对折”，平行结构直接断掉。
• 计数守恒。高斯数、顶点数在任何刚体/相似变换前后一个不多一个不少。变换代码写错行列、读错字段偏移，往往先在计数上露馅——这是唯一一条不需要渲染就能查的不变量。

为什么这些量”不依赖约定”

前三条来自透视投影的结构性质：投影矩阵 $K[R\mid t]$ 无论内部参数 $K$、外参 $R,t$ 的符号约定怎么变，只要是正确的同一物理相机，世界中的水平面、铅垂方向、平行关系在画面上的定性表现就不变。换句话说，错误约定破坏的恰恰是这些结构性质——所以它们天然适合做”约定对不对”的探针。

第四条来自变换的代数性质：刚体变换是双射，不可能改变点数。

使用时的坑

• 不变量判”错”很硬，判”对”不充分。四条全过不代表约定全对——比如绕竖直轴转 180°，地平线不动、铅垂线不歪（见案例 C）。不变量是用来证伪的，不是用来证明的。
• 先确认前提再套用。地平线判据要求相机无横滚、俯仰角已知；拿一张歪着脖子拍的照片去套”铅垂线必须竖直”，会冤枉好数据。

参考

• Vanishing point（维基百科）
• Invariant（数学，维基百科）

判据设计：28° 手算

从不变量到判据

“地平线必须在画面上半部”是定性不变量，还不够用——翻转前后它都在半部里，只是一上一下。判据（criterion）要把不变量变成一行可算的数：给定相机参数，地平线应该落在第几行像素。

推导

针孔相机模型下，像素坐标 $(u, v)$（$v$ 从画面顶部向下数）对应相机系方向：

$\left(\frac{u-c_x}{f_x},\ \frac{v-c_y}{f_y},\ -1\right)$

其中 $f_x, f_y$ 是以像素为单位的焦距，$(c_x, c_y)$ 是主点。设相机低头俯角 $\theta = 28°$、无横滚。世界是水平的，地平线对应”视线在相机系中相对光轴上抬 $\theta$ 角”的方向，即竖直分量满足：

$\frac{v_h - c_y}{f_y} = -\tan\theta$

解出地平线行号：

$v_h = c_y - f_y \tan\theta$

负号来自 $v$ 轴朝下：往上看，行号减小。

代入数字

本数据集：1920×1080，OPENCV 模型无畸变，$f_y = 935.3074$，$c_y = 540$。

$v_h = 540 - 935.3 \times \tan 28° = 540 - 935.3 \times 0.5317 \approx 540 - 497 \approx 43 \text{ px}$

低头 28°，地平线几乎贴着画面顶端——符合直觉：低得越多，地平线越高。

若图像被竖直翻转，行序颠倒，同一内容出现在：

$v'_h = 1080 - 43 = 1037 \text{ px}$

43 对 1037，差了近 1000 行，肉眼一眼定案，不需要任何代码。

设计判据的要点

• 选区分度大的机位。俯角 28° 把地平线推到贴近边缘的极端位置，翻转前后差 $H - 2v_h \approx 994$ 行。若相机平视（$\theta=0$），地平线就在 $c_y=540$，翻转前后都是 540，判据失效。判据要故意选让正确答案”偏心”的场景。
• 数字要能手算复核。$\tan 28° \approx 0.5317$ 两位有效数字足够，误差几个像素不影响 43 vs 1037 的结论。判据的威力在于快，不在于精。
• 前提写在判据旁边。此判据成立需要：无横滚、$c_y = H/2$（主点居中）、地平线在无穷远（走廊场景成立）。换了前提要重算。

参考

• Pinhole camera model（维基百科）
• Camera resectioning / 相机内外参（维基百科）

PSNR 为什么当不了判据

PSNR 在算什么

峰值信噪比 PSNR（peak signal-to-noise ratio）定义为：

$\mathrm{PSNR} = 10 \log_{10}\frac{\mathrm{MAX}^2}{\mathrm{MSE}}, \qquad \mathrm{MSE} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(I_i - \hat{I}_i\right)^2$

它只度量两张图逐像素的均方误差：渲染图 $\hat I$ 和参考图 $I$ 在相同像素位置上差多少。它不含任何几何、任何结构信息——把两张图同步做任意重排，只要对应关系不变，PSNR 不变。

实测的翻转盲区

拿训练收敛的模型，分别对原图和垂直翻转后的图算 PSNR：

$19.8\ \mathrm{dB} \quad \text{vs} \quad 20.1\ \mathrm{dB}$

差 0.3 dB，属于噪声级波动。上下颠倒这样毁灭性的约定错误，PSNR 完全分不出来——翻转后的图仍然是一张统计特征几乎一样的走廊照片，模型对两套数据的拟合优度相当。

根因：内部自洽 ≠ 外部正确

自渲染自评是一个闭环：用系统的约定渲染，再用同一套约定评估。系统和它自己永远一致——约定错得再离谱，只要输入数据和评估链路错得”配套”，指标照样漂亮。这类指标叫内部自洽（self-consistent）指标，它能回答”拟合得好不好”，回答不了”和世界对不对”。

类比：一块慢了 10 分钟的钟，和它自己对时永远精准。

判据必须有外部锚点

“约定对不对”是关于世界的命题，只能用不经过系统内部管线的信息来裁决：已知的相机俯角、世界的水平与铅垂、平行线结构。几何就是这些外部锚点中最硬的一类——它绕过渲染器、绕过 loss，直接质问数据本身。

容易踩的坑

• PSNR 不是没用，是用途不同。调参、选 checkpoint、比较同管线内的模型，PSNR 完全合格；它被禁用的场合只有一个：裁决跨系统的约定对错。
• loss 同罪。训练 loss 也是内部自洽指标，13.9 dB 的翻转模型 loss 照样稳步下降——“曲线漂亮”从来不是没 bug 的证据。

参考

• Peak signal-to-noise ratio（维基百科）

案例A：Unity 采集端的轴向

c2w 的列就是相机三根轴

相机到世界矩阵 c2w（camera-to-world）的旋转部分 $R$ 的三列，分别是相机系 $x, y, z$ 轴在世界系中的方向。本项目（Unity 采集端，定案约定）：

$R = \begin{bmatrix} | & | & | \\ \mathbf{r} & -\mathbf{u} & \mathbf{b} \\ | & | & | \end{bmatrix}$

• 第 1 列 $\mathbf{r}$：right，相机右方
• 第 2 列 $-\mathbf{u}$：注意是负 up，即天生朝下（down）
• 第 3 列 $\mathbf{b}$：backward，相机后方（视线反方向）

很多引擎和图形学教材给的是 $[\mathbf{r}, \mathbf{u}, \mathbf{f}]$（OpenGL 式：up、forward）。一列之差，渲染翻天。

射线公式：两种等价写法

由 c2w 生成像素射线方向，因 v 原点约定有两个等价形式：

# v 从画面顶部数(标准图像/PNG 约定):
d ∝ r·(u−cx)/fx + down·((v−cy)/fy) + backward·(−1)

# v 从画面底部数(GL/ReadPixels 约定):
d ∝ r·(u−cx)/fx + down·(−(v−cy)/fy) + backward·(−1)

两式数学上描述同一台相机，差别只在 $v$ 从哪头数。最后一项 $-1$：视线沿 backward 轴的负方向（即 forward）看出去。

符号错的两种指纹

把 $[\mathbf{r}, -\mathbf{u}, \mathbf{b}]$ 当成 $[\mathbf{r}, \mathbf{u}, \mathbf{f}]$ 读，两处负号各产生一种典型症状：

• up 差一个负号 → 画面上下颠倒。竖直方向的采样方向反了，等价于把图像竖直翻转。
• forward/backward 差一个负号 → 深度反排。射线朝相机背后发出，看到的内容深度顺序整个颠倒，近处变远处。

症状指纹：地平线跑位 + 铅垂线歪斜（两问定生死：低头机位地平线应在 v≈43 一侧；走廊竖边必须严格竖直）。

容易踩的坑

• “c2w 第 2 列是 up”是最常见的想当然。本约定里第 2 列是 down。读 transforms.json 之前先确认生成端用哪套列序，不要按教材默认值硬套。
• 轴向错和翻转错症状相似，病根不同。翻转（案例 B）是图像存储行序问题，所有帧一致地颠倒；轴向错是 c2w 矩阵列约定问题，会连带影响射线生成。判据能区分：纯翻转时 c2w 不变，铅垂线仍竖直；轴向错时铅垂线会歪。

参考

• OpenGL 坐标系约定（LearnOpenGL）
• Nerfstudio 数据格式 transforms.json 文档

案例B：竖直翻转全案

病根：两个像素原点

同一块屏幕像素，两套读法：

• Unity ReadPixels（OpenGL 约定）：原点在左下，第 0 行是画面最底行。
• PNG 编码器 / 标准图像约定：原点在左上，第 0 行是最顶行。

采集端按左下原点写出，下游按左上原点读入——同一段像素，行序整个颠倒。1020 张训练图每一张都被竖直翻转，且翻转得非常一致，所以不崩、不报错，只是悄悄错。

为什么训练照跑却只有 13.9 dB

关键：翻转只发生在图像上，相机位姿没翻。每张图描绘的世界被竖直镜像了一次，而 c2w 还按原样指向——对优化器来说，这等价于每个相机都在看一个与自己位姿不自洽的世界。没有任何一个 3D 场景能同时满足所有 1020 个”图-位姿”对，高斯被互相矛盾的梯度来回拉扯：

• 训练不发散（矛盾是系统性的，不是噪声）
• 但收敛奇慢，且天花板极低：实测停在 13.9 dB

这就是”loss 曲线漂亮 ≠ 没问题”的实物案例——曲线下降只说明优化器在拟合它见到的数据，不说明数据自洽。

定罪与修复

地平线判据一锤定音：低头 28° 机位，渲染画面里地平线沉在 $v \approx 1037$（应为 $v \approx 43$，推导见判据设计一节）。行序颠倒实锤。

修复 = 写文件时把行序翻回来（或读入时翻），一行的事。修复后同管线训练到 30.2 dB，16 dB 的差距全部来自这一个原点约定。

为什么这条坑隐蔽

• 每张图单独看都正常。走廊场景上下大致对称（地/顶、左墙/右墙），翻转后的图人眼不细看分不出，PSNR 也分不出（19.8 vs 20.1 的盲区实测）。
• 错误一致性。如果只有部分帧翻转，loss 会剧烈震荡，反而好查；全员一致翻转才有”收敛但低分”的迷惑性。

排查启示

图像在系统边界（采集→文件→训练框架）上过一次手，就要问一次：这端的像素原点在哪？ OpenGL/DirectX/Metal、各图像库、各框架张量布局的原点约定并不统一，逐端确认比事后查 16 dB 便宜得多。

参考

• Unity Scripting API: Texture2D.ReadPixels
• Portable Network Graphics（维基百科）

案例C：SuperSplat 绕 Z 转 180°

案情：交换链上的隐形旋转

SuperSplat 读入 ply 时默认绕 Z 轴转 180°。绕 Z 转半圈的旋转矩阵：

$R_z(180°) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad (x, y, z) \mapsto (-x, -y, z)$

效果：画面左右、前后全反，模型像”旋转了对影”。

症状指纹：为什么它能躲过不变量

这是本集最阴险的一类错：

• 地平线不动——Z 轴（竖直方向）不变，水平面还是水平面
• 铅垂线不歪——竖直边还是竖直边
• 平行线结构不断——旋转是刚体变换，平行关系保持

前三条几何不变量全过，只有朝向反了：场景里该在左边的东西在右边。识别它要靠有方向性的内容（文字、已知布局），或和源数据直接比朝向。不变量证伪的盲区，正好由这个案例标出来。

修法：预补偿而不是硬扛

$R_z(180°)$ 是对合（involution）——它是自己的逆：转两次半圈等于没转。所以不必改 SuperSplat，导出前先把坐标预转一次：

p_ss = (−x, −y, z)     # 导出前预补偿

它进场自动再转一次：

$(-x, -y, z) \mapsto (-(-x),\, -(-y),\, z) = (x, y, z)$

负负得正，恰好原位。两次半圈 = 原位，代数上就是 $R_z(180°)^2 = I$。

通用思路

交换工具（查看器、转换器、编辑器）的”默认动作”——自动旋转、自动缩放、自动换轴——都是可查证的确定行为。查到之后在导出端施加它的逆变换抵消，通常比改造工具或在加载端打补丁干净。这也是调试跨系统问题的分工原则：错在哪端查清，修在哪端便宜。

容易踩的坑

• 只补偿位置不够。绕 Z 转 180° 同样作用于每个高斯的朝向（旋转四元数）和 SH 方向性颜色。严格交换时要把旋转和 SH 一起共轭变换，否则椭球朝向和视角相关颜色会错——这正是”SH 随不随旋转”检查点存在的原因。
• 别凭症状猜轴。左右前后全反也可以是绕 Y 转 180° 加镜像的组合；确认是”绕 Z 半圈”要靠官方行为说明或最小样例实测，不是看画面感觉。

参考

• SuperSplat（PlayCanvas 官方 3DGS 编辑器）
• Rotation matrix（维基百科）

七检查点总卡：逐条机理

清单与顺序

#	检查点	一行判据
①	坐标手性 / 轴向	铅垂线必须竖直；c2w 三列 = right, −up, backward
②	图像原点 / 翻转	低头 28° → 地平线 $v\approx43$；沉底 1037 = 翻转
③	像素中心 +0.5	半像素错位：细结构重影、边缘发虚
④	四元数归一化	$\|q\|=1$；模长偏离 → 形状畸变
⑤	up 轴约定	顶/底原点对号入座，$v$ 方向别串
⑥	单位 / 尺度	米 vs 厘米；场景尺度与相机距离同量纲
⑦	SH 是否随旋转	换系后颜色漂移 = SH 没转

顺序不是随意的：前两条用肉眼不变量就能判，成本最低、命中率最高，先查；后面逐项深入数据内部。

各条机理速览

① 手性与轴向。c2w 列约定错，射线生成整体错位（见案例 A）。手性（chirality，左手系/右手系）错更隐蔽：坐标逐轴看着都对，但叉乘方向反了，旋转全变成镜像。

② 原点与翻转。ReadPixels 左下原点 vs PNG 左上原点，行序颠倒（见案例 B）。43 vs 1037 判据一行定案。

③ 像素中心 +0.5。像素 $(i, j)$ 的几何中心在 $(i+0.5,\ j+0.5)$，不在整数格点。生成射线或光栅化时漏掉这半个像素，整个采样网格平移 0.5 px——对低频内容无伤，对细结构就是系统性重影、边缘发虚。这类错不会让 PSNR 崩掉，只会让所有图像略糊，极易被当成”模型能力不够”。

⑥ 单位与尺度。一端按米、一端按厘米，场景尺度差 100 倍：相机平移量、高斯尺度、近平面/远平面全部失配。判据是看量纲关系——相机到场景的典型距离和场景尺寸必须同量纲；渲染出来”一切极小/极大、裁切诡异”先查这条。注意有些训练框架会自动重定向（含缩放）数据，导出模型时要逆变换回原坐标系，否则尺度和朝向一起被换。

④⑤⑦ 的机理（本集只给判据）：

• ④ 四元数归一化：3DGS 协方差 $\Sigma = R(q)\,\mathrm{diag}(s^2)\,R(q)^\top$ 假设 $R$ 正交，即 $\|q\|=1$。模长偏离 1 会乘进每个轴长（$s$ 实际被缩放到 $\|q\|^2 s$ 量级），椭球形状整体畸变。判据：扫描 ply 里 rot 字段模长分布。
• ⑤ up 轴约定：不同系统默认 Y-up / Z-up，导入导出时 $v$ 方向容易串。判据：对照源数据的竖直方向渲染一条铅垂线。
• ⑦ SH 随不随旋转：颜色存在球谐 SH（spherical harmonics）系数里，是方向相关量。坐标系整体旋转时，SH 系数必须乘对应的 SH 旋转矩阵同步变换，否则视角相关颜色整体漂移（“换系必漂色”）。判据：换系前后绕场景环视，比较颜色是否随视角正确变化。

使用守则

按序过一遍，每项只认自己的一行几何判据；全程禁用 PSNR/loss 当”约定对不对”的证据——它们管拟合好坏，不管世界对错（19.8 vs 20.1 的翻转盲区在案）。