VJP：向量版链式法则

从标量到向量

标量链式法则：$y$ 经中间量 $z$ 依赖于 $x$，则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}$，两个数相乘完事。

训练时的格局是：损失 $L$ 是一个标量，参数 $\mathbf{x}$ 是上万个分量，中间量 $\mathbf{z}$ 也是向量。设 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$，$\mathbf{z}\in\mathbb{R}^m$，记雅可比矩阵（Jacobian）

$J = \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{m\times n},\qquad J_{ij} = \frac{\partial z_i}{\partial x_j}$

向量版链式法则就是把标量乘法换成转置矩阵乘法：

$\frac{dL}{d\mathbf{x}} = J^{\top}\,\frac{dL}{d\mathbf{z}}$

左边是 $n$ 维梯度向量，右边是 $n\times m$ 矩阵乘 $m$ 维向量。这个「上游梯度乘 $J^\top$ 得到下游梯度」的操作就叫 VJP（向量-雅可比积，Vector-Jacobian Product）。

JVP 与 VJP 的方向之分

• JVP（雅可比-向量积）：算 $J\mathbf{v}$。给参数一个扰动方向 $\mathbf{v}$，问输出会往哪动——「给方向问结果」，对应前向模式自动微分。
• VJP：算 $J^\top \mathbf{v}$。给输出端一个梯度（余切向量），问每个参数该承担多少责任——「给结果问方向」，对应反向模式自动微分。

训练只有一个标量损失、却有海量参数：前向模式要为每个参数各跑一遍才能得到完整梯度，反向模式一遍逆序扫描就拿到所有参数的梯度，代价只是前向的常数倍。这就是训练必须用 VJP 的原因。

永远不真的造出 J

实现反向传播时从不把 $J$ 这个矩阵显式存下来——上万个参数对上百个中间量，矩阵存不下。代码里写的是「给定 $dL/d\mathbf{z}$，直接算出 $J^\top(dL/d\mathbf{z})$」的那几行算术。3DGS 反向里的 T 链除回、acc 递推，本质上都是逐个算子的手写 VJP。

执行模型：逆序重放

光栅化是按 tile（16×16 像素块）并行、块内按深度排序后的顺序前到后合成的。反向的执行模型与之镜像：

• 按 tile：每个像素独立反传，tile 之间天然并行；
• 按 order：沿前向的排序序列逆序重放——前向先合成的高斯，反向最后处理。

前向每处理一个高斯只做 $O(1)$ 状态更新，所以逆序重放只需要重建这 $O(1)$ 状态，不需要存整条历史。

参考

• 自动微分（维基百科）
• 3D Gaussian Splatting 论文

前向存档三量：T、C、n_contrib

前向合成的递推结构

α 混合（alpha blending）按深度前到后合成，每像素的循环体只有两行状态更新：

$C \mathrel{+}= c_i\,\alpha_i\,T,\qquad T \mathrel{\times}= (1-\alpha_i)$

其中 $c_i$ 是第 $i$ 个高斯的颜色，$\alpha_i$ 是它在该像素的不透明度，$T$ 是透射率（transmittance），初值 $1$。$T$ 的物理含义：光穿过前面所有高斯后还剩的比例。

本集算例（沿用 EP03）：$\alpha = (0.50, 0.80, 0.95, 0.99)$，$c = (0.2, 0.7, 0.4, 0.9)$，逐项贡献 $c_i\alpha_i T_i = (0.100, 0.280, 0.038, 0.004)$，累计 $C = 0.422$，$T$ 末值 $5\times10^{-5}$。

早退与 n_contrib

前向带早退（early exit）：当 $T < 10^{-4}$ 时，后面的高斯贡献被透射率压到可忽略，直接终止循环，并把处理到的下标记为 n_contrib。本例 $n_{\text{contrib}} = 4$：第五个高斯被跳过。

n_contrib 是反向的循环边界：反向只重放前 $n_{\text{contrib}}$ 个，之后的高斯梯度一律为零——它们前向就没参与合成，链式法则上导数确实是零。

为什么三个数就够

反向逆序重放时需要重建的每步状态只有 $T$ 和「身后累计量」。关键在于：

• $T$ 链可以靠除法逆推：知道末值 $T$ 和当前 $\alpha_i$，就恢复出进入第 $i$ 步之前的 $T_i = T/(1-\alpha_i)$，不需要存链上每个值；
• 「身后累计量」可以边走边用一行递推滚出来（见 dL/dα 的 acc 递推），初值为零，也不需要存；
• $\alpha_i$、$c_i$ 本身反向时现场重算：高斯参数（投影协方差、像素偏移）都在，按前向同一公式再算一遍即可，比存档再读回更省显存带宽；
• $C$ 作为 acc 递推的自检终点顺带可用。

这是典型的「时间换显存」：前向每像素只写三个数，反向用少量重算换掉了整条中间链的存储。

容易看错的点

• 存的 $T$ 是末值，不是链。表格里「更新后 T」一列是递推的中间过程，前向并不逐个保存。
• 重算 $\alpha$ 要求前向、反向公式逐位一致。任何一处实现偏差（比如抗混叠项、指数近似的差异）都会让反向的 $\alpha$ 与前向对不上，T 链恢复随之整体错位。

T 链逆序恢复

一行公式的来历

前向透射率递推是 $T_{i+1} = T_i\,(1-\alpha_i)$（$T_i$ 指处理第 $i$ 个高斯之前的透射率，$T_1 = 1$）。每一步只是乘一个因子，所以逆向就是除回去：

$T_i = \frac{T}{1-\alpha_i}$

其中 $T$ 是循环里当前持有的值（初始为前向存档的末值）。每处理完第 $i$ 个高斯的梯度，执行一次 $T \leftarrow T/(1-\alpha_i)$，就得到了处理前一个高斯所需的 $T_{i-1}$ 之后的位置——准确说，除法发生在取用之前：逆序走到第 $i$ 个时，先除出 $T_i$，再用它算梯度。

四步恢复（本集算例）

末值 $T = 5\times10^{-5}$，$\alpha = (0.5, 0.8, 0.95, 0.99)$，从远到近：

步 $i$	除式	恢复 $T_i$
4	$5\times10^{-5} / (1-0.99)$	$0.005$
3	$0.005 / (1-0.95)$	$0.1$
2	$0.1 / (1-0.8)$	$0.5$
1	$0.5 / (1-0.5)$	$1.0$

与前向链 $(1, 0.5, 0.1, 0.005)$ 逐项吻合。注意 $T_1 = 1$ 天然成立——它是初值，不依赖任何高斯，恢复出 $1$ 同时就是对整条链的一次校验。

为什么敢除

• 精确性：前向每步只乘了一个 $(1-\alpha_i)$，没有加性项、没有分支，逆映射就是干净的一除。只要反向重算的 $\alpha_i$ 与前向逐位一致，恢复就是精确的（差一个 $(1-\alpha)$ 因子都会让整条链错位——评审曾抓到过「反向漏乘」导致 T 链整体差一档的 bug）。
• 零存档：链上 $n$ 个值压成末值一个数，逆序除回免费重建。

数值上的坑

• $\alpha_i \to 1$ 时 $1-\alpha_i \to 0$，除法病态。前向用 $T < 10^{-4}$ 早退间接兜了底：一路高 α 会迅速把 $T$ 压到阈值以下，循环截止，病态区段的梯度直接置零。
• $T$ 链恢复是后续所有梯度的乘性基底：$T_i$ 出现在 dL/dαᵢ 的每一项里。T 错一格，整个像素的 α 梯度集体错——所以它是反向链里最先要验证的量。

dL/dαᵢ 与 acc 递推

梯度公式的推导

像素颜色是加权和 $C = \sum_j T_j\,\alpha_j\,c_j$。对 $\alpha_i$ 求导时，$\alpha_i$ 出现在两处：自己的项里（$T_i\alpha_i c_i$），以及身后所有项的透射率里（$j>i$ 的 $T_j$ 都含因子 $(1-\alpha_i)$）。由 $T_j = T_i(1-\alpha_i)\prod_{i<k<j}(1-\alpha_k)$ 得 $\partial T_j/\partial\alpha_i = -T_j/(1-\alpha_i)$，于是

$\frac{\partial C}{\partial \alpha_i} = T_i\,c_i - \frac{1}{1-\alpha_i}\sum_{j>i} T_j\,\alpha_j\,c_j$

两边乘上游梯度 $dL/dC$（逐通道内积后）整理成

$\frac{dL}{d\alpha_i} = T_i\Big(\underbrace{\langle \tfrac{dL}{dC},\, c_i\rangle}_{G_i} - \mathrm{acc}_i\Big)$

其中 $\mathrm{acc}_i = \sum_{j>i} G_j\,\alpha_j\prod_{i<k<j}(1-\alpha_k)$：第 $i$ 个高斯身后（更远处）已经叠出的加权色，权重以上游梯度 $dL/dC$ 调制。

acc 的一行递推

acc 不需要单独存档，逆序遍历时边算边滚：

$\mathrm{acc} \leftarrow \mathrm{acc}\cdot(1-\alpha_i) + \langle \tfrac{dL}{dC}, c_i\rangle\cdot\alpha_i,\qquad \mathrm{acc} \text{ 初值 } 0$

归纳可见不变式：处理完第 $i$ 个后，acc 恰好等于「$i$ 及以远」的加权和 $\sum_{j\ge i} G_j\alpha_j\prod_{i\le k<j}(1-\alpha_k)$——每项的透射率都折算到 $i$ 之后的位置。所以下一轮处理第 $i-1$ 个时，acc 正好就是 $\mathrm{acc}_{i-1}$。灰度情形 $dL/dC = 1$ 时 $G_i = c_i$，递推退化成旁白里的「acc ← acc·(1−α) + cᵢ·α」。

直觉读法

梯度符号由 $c_i$ 与 acc 的对比决定（设 $dL/dC > 0$，即损失希望像素更亮）：

• 比背景亮（$G_i > \mathrm{acc}$）：增大 $\alpha_i$ 会用更亮的自己替换身后均值，像素变亮，梯度为正；
• 比背景暗（$G_i < \mathrm{acc}$）：梯度为负，该减小 $\alpha_i$ 把自己「让开」。

acc 在这里的角色就是「此刻的背景色」：每个高斯只跟身后已合成的画面比明暗，不跟全局比。

与源码的对应

该定义与自研训练器 backward.comp 逐行对应：Ga = T·(dot(dLdC, c) − accum)，随后 accum = accum·(1−α) + dot(dLdC, c)·α。两个要点：acc 累计的是 $dL/dC$ 加权后的颜色，不是裸颜色（只有 $dL/dC=1$ 时两者才相等）；acc 的更新发生在当前梯度算完之后，顺序反了 acc 就把自己也算进了背景。

参考

• 3D Gaussian Splatting 论文（含合成公式）
• gsplat 官方仓库（反向实现参考）

acc 四步手算

设定

灰度单通道，取 $dL/dC = 1$（即上游梯度全 1，此时 $G_i = c_i$）。数据：$\alpha = (0.5, 0.8, 0.95, 0.99)$，$c = (0.2, 0.7, 0.4, 0.9)$，恢复好的 $T$ 链为 $(1, 0.5, 0.1, 0.005)$。逆序从 $i=4$ 走到 $i=1$，每步两件事：

$\frac{dL}{d\alpha_i} = T_i\,(c_i - \mathrm{acc}),\qquad \mathrm{acc} \leftarrow \mathrm{acc}\,(1-\alpha_i) + c_i\,\alpha_i$

四步明细

步 $i$	$T_i$	$c_i - \mathrm{acc}$	$dL/d\alpha_i$	acc 更新
4	0.005	$0.90 - 0$	$+0.0045$	$0 \to 0.891$
3	0.1	$0.40 - 0.891$	$-0.049$	$0.891 \to 0.425$
2	0.5	$0.70 - 0.425$	$+0.138$	$0.425 \to 0.645$
1	1.0	$0.20 - 0.645$	$-0.445$	$0.645 \to 0.422$

逐步验算 acc：$0.891 = 0.9\times0.99$；$0.425 = 0.891\times0.05 + 0.4\times0.95$；$0.645 = 0.425\times0.2 + 0.7\times0.8$。每步两次乘法，与 GPU 着色器里的成本一致。

读符号：$i=4$ 身后没人（acc = 0），它最亮，梯度为正；$i=3$ 比背景暗，梯度为负；$i=1$ 自己只有 0.2，却压着身后 0.645 的背景，梯度 $-0.445$ 最大——第一个高斯把画面压得太暗，最该减 α。

天然自检：acc 终值 = C

四步走完 acc = 0.422，恰好等于前向累计色 $C$。不是巧合：当 $dL/dC = 1$ 时 acc 的不变式退化为 $C$ 的同一结构——

$\mathrm{acc}\big|_{\text{终}} = \sum_j c_j\,\alpha_j\,T_j = C$

acc 递推与颜色累计同构，只是反向走。这给了实现一个零成本断言：跑完反向，acc 应与存档的 $C$ 一致（浮点精度内），不等就是 T 链或 α 重算出了错。

截止之后：梯度置零

$n_{\text{contrib}}$ 之后的高斯（本例第 5 个）前向被早退跳过、未参与合成，链式法则上对所有参数的梯度都是零。反向循环到 $n_{\text{contrib}}$ 为止，不要继续往下走——那些高斯的 $T$ 链恢复会用到被跳过的 α，除回去只会得到无意义的数。早退省下的不只是前向时间，也是反向时间。

容易踩的坑

• acc 初值是 0，不是背景色。最远高斯的「身后」是空合成，空就是零；场景背景色若存在，是在 $dL/dC$ 里体现的，不进 acc。
• 先算梯度再更新 acc。两行顺序写反，当前高斯就被算进自己的背景，梯度整体偏差。

μ 的两条梯度路径

为什么 μ 特殊

颜色、不透明度这类参数在合成公式里只出现一次，链式法则一条链走到底。三维中心 μ 却出现在前向管线的两处，损失对它的全导数必须是两条路径之和。

一阶路径：挪中心

投影把 μ 映射为屏幕上的椭圆中心 $\mu_{2D}$。挪动 μ，椭圆整体平移，改变该像素相对椭圆中心的偏移量，进而改变 $\mathrm{power}$（指数项里的马氏距离）和 $\alpha$，最终改变 $C$：

$\mu \;\to\; \mu_{2D} \;\to\; \mathrm{power} \;\to\; \alpha \;\to\; C$

这是直觉路径：梯度告诉你「椭圆该往哪挪」。

二阶路径：μ 还住在 J 里

投影不是线性映射，是针孔相机的除法：$x' = f\,t_x/t_z$。把三维协方差投到屏幕时用局部线性化

$\mathrm{cov2d} = J\,\mathrm{Vrk}\,J^\top$

其中 $\mathrm{Vrk} = W\Sigma W^\top$ 是相机系协方差，而雅可比 $J$ 的取值点是 $t = W(\mu - \text{相机位置})$——J 依赖于 μ。μ 一动，线性化点就动，J 跟着变，于是：

$\mu \;\to\; J(\mu) \;\to\; \mathrm{cov2d} \;\to\; \mathrm{conic} \;\to\; \mathrm{power} \;\to\; \alpha \;\to\; C$

椭圆的中心没挪，但形状、朝向、大小变了，同样影响像素。这条路径不显式经过 $\mu_{2D}$，肉眼看不见，所以容易漏。

全导数 = 两项之和

链式法则对多路径依赖自动给出加法结构：

$\frac{dL}{d\mu} = \underbrace{\frac{\partial L}{\partial \mu}\Big|_{J\text{ 固定}}}_{\text{一阶}} + \underbrace{\frac{\partial L}{\partial \mu}\Big|_{\mu_{2D}\text{ 固定，经 }J}}_{\text{二阶}}$

只写一阶项是真实出现过的评审级 bug：训练照样收敛（一阶项通常占主导），但梯度系统性缺一块，表现为收敛「差一口气」、近相机区域拟合发虚。漏掉的不是噪声，是几何上真实存在的耦合——μ 不仅决定椭圆在哪里，还决定线性化在哪个点做。

参考

• EWA Splatting 原文（Zwicker et al., 投影的局部仿射近似）

μ 梯度：一阶 + 二阶

完整公式

$\frac{dL}{d\mu^{3D}} = W^\top J^\top\,\frac{dL}{d\mu^{2D}} + K',\qquad K' = H\cdot J\cdot\mathrm{Vrk}$

每一项是谁对谁的导数（Q6 考点）：

符号	含义	导数关系
$W$	视图矩阵的旋转部分（世界系 → 相机系）	$\partial t/\partial\mu^{3D}$，$t = W(\mu - \text{相机位置})$
$J$	投影雅可比，$\in \mathbb{R}^{2\times3}$	$\partial\mu^{2D}/\partial t$，在 $t$ 处取值
$H$	投影黑塞（Hessian），三阶张量	$\partial^2\mu^{2D}/\partial t^2 = \partial J/\partial t$
Vrk	相机系协方差 $W\Sigma W^\top$	非导数，是被投影的量

$H$ 与 $J$ 是「兄弟」：同一个投影函数的一阶、二阶导数。一阶项用 $J$ 把像素梯度搬回三维；二阶项用 $H$ 刻画「J 自身随取值点变化」的那部分耦合。

一阶项：两次转置搬回世界系

像素平面上的梯度 $dL/d\mu^{2D}$ 先经 $J^\top$ 从屏幕搬到相机系（$2$ 维 → $3$ 维），再经 $W^\top$ 从相机系转回世界系。注意转置顺序与前向相反：前向是 $\mu^{3D} \xrightarrow{W} t \xrightarrow{J} \mu^{2D}$，反向就倒着走 $W^\top J^\top$。

代入本集设计算例（$f = 935.3074$，$z = t_z = 4$）：$J$ 的主对角元约为 $f/z = 233.8$，$dL/d\mu^{2D} = (0.01, 0.02)$ 给出一阶项 $\approx (2.34, 4.68, 0)$。

二阶项 K′：量级与何时不能丢

投影 $x' = f\,t_x/t_z$ 对 $t$ 的二阶导数含 $-f/t_z^2$ 型项。代入 $z = 4$：$-f/z^2 = -935.3074/16 \approx -58.5$，乘上本例的协方差与梯度后二阶项 $\approx -0.23$。

与一阶的 $4.68$ 相比约占 $5\%$——平时确实小。但注意二阶项随 $1/z^2$ 缩放，一阶项只随 $1/z$：高斯贴近相机时，二阶项相对放大一倍速度，近距、大椭球场景下丢掉它，μ 梯度就系统性失真。

容易看错的点

• K′ 不是对 μ²ᴰ 求导的修正，而是对 J 的。它出现在 μ 的梯度里，是因为线性化点 $t$ 本身依赖于 μ；协方差参数（s、q）的梯度里没有这一项。
• 两项符号可以相反。本例 $+4.68$ 与 $-0.23$ 异号：二阶项在「往回拉」。它不是误差，是几何曲率的真实修正。

参考

• EWA Splatting 原文（Zwicker et al.）

四元数的切空间投影

约束：参数住在单位球面上

旋转用单位四元数 $q$ 表示，$\|q\| = 1$。参数空间不是 $\mathbb{R}^4$，而是三维球面 $S^3$。普通反向传播给出的梯度 $g \in \mathbb{R}^4$ 是「 ambient 空间」的方向，直接沿它走会偏离球面。

几何上，$q$ 点的可行扰动方向构成该点的切平面：所有与 $q$ 正交的向量。梯度在径向（沿 $q$ 方向）的分量只改变模长、不改变旋转，必须剔除。

投影公式与手算

把 $g$ 正交投影到 $q$ 处的切平面（$\|q\|=1$ 时 $\hat q = q$）：

$g_{\tan} = g - (g\cdot \hat q)\,\hat q$

本集算例：$q = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5)$，$g = (0.8, 0.4, 0.2, 0)$。

1. $g\cdot q = 0.8\times0.5 + 0.4\times0.5 + 0.2\times0.5 + 0 = 0.7$
2. 径向分量 $0.7q = (0.35, 0.35, 0.35, 0.35)$
3. $g_{\tan} = (0.45, 0.05, -0.15, -0.35)$，验证：$g_{\tan}\cdot q = 0.225+0.025-0.075-0.175 = 0$ ✓

步进对比：投不投影差多少

步长 $\varepsilon = 0.2$，$q' = q + \varepsilon g_{\tan}$（或不投影时 $q + \varepsilon g$），最后归一化：

走法	$\|q'\|^2$	模长膨胀
不投影	$1.3136$	$+14.6\%$（$\|q'\| = 1.146$）
投影后	$1.0140$	$+0.7\%$

投影后仍有 0.7% 残差，因为切平面是局部近似：沿切线走 ε 后必然略离球面。这个残差有精确表达式——由 $g_{\tan} \perp q$，勾股定理给出

$\|q + \varepsilon g_{\tan}\|^2 = 1 + \varepsilon^2\|g_{\tan}\|^2 = 1 + 0.04\times0.35 = 1.014$

残差是 $O(\varepsilon^2)$ 的二阶小量，步进后再归一化一次即回到球面。

为什么剔除径向是安全的

旋转矩阵对四元数是齐次的：$R(\lambda q) = R(q)$，任意非零缩放不改变旋转，损失对径向方向本来就不敏感。更深层的事实：实现里 $q$ 总是先归一化再构造 $R$，而对 $\hat q = q/\|q\|$ 求导，其雅可比正是 $(I - \hat q\hat q^\top)/\|q\|$——切空间投影就是 normalize 算子的 VJP，不是额外加的约束技巧。换句话说，只要把归一化写进前向，正确的反向自动包含这一步。

容易看错的点

• 投影用的是归一化后的 $\hat q$。若 $q$ 因累计误差偏离单位球，先归一化再投影，公式里的 $\hat q$ 不能偷懒用 $q$ 代替。
• 投影 ≠ 只归一化。只归一化不剔径向：径向分量在归一化时会耦合进旋转方向，等效于给有效步长乘了个不确定的因子。

o 的梯度与 3.5 倍坑

链式推导

不透明度在存储与优化中用的是 logit $\ell$（sigmoid 的反函数），前向时 $\sigma = \sigma(\ell)$，像素不透明度是它与高斯求值项的乘积：

$\alpha = \sigma(\ell)\cdot e^{\mathrm{power}}$

对 $\ell$ 求导：$e^{\mathrm{power}}$ 与 logit 无关，是常数因子；sigmoid 的导数是 $\sigma' = \sigma(1-\sigma)$。于是

$\frac{\partial\alpha}{\partial\ell} = \sigma(1-\sigma)\,e^{\mathrm{power}} = \alpha\,(1-\sigma)$

乘回上游梯度：

$\frac{dL}{d\ell} = \frac{dL}{d\alpha}\cdot\alpha\,(1-\sigma)$

坑：把 α 又当成了 σ

手写反向时极容易顺手把 sigmoid 导数套到最终结果上，写成 $\alpha(1-\alpha)$——把「激活后的 $\alpha$」误当成 $\sigma$。两者只差一个字母，数值上差多少，代数说了算：

$\frac{\text{错误版}}{\text{正确版}} = \frac{\alpha(1-\alpha)}{\alpha(1-\sigma)} = \frac{1-\alpha}{1-\sigma}$

取 $o = \sigma = 6/7 \approx 0.857$、$\alpha = 0.5$（即 $e^{\mathrm{power}} = 0.5/0.857 \approx 0.583$）：

$\frac{1-\alpha}{1-o} = \frac{0.5}{1/7} = 3.5$

代入看两个因子本身：正确版 $\alpha(1-o) = 0.5\times0.143 = 0.0715$，错误版 $\alpha(1-\alpha) = 0.25$——全体 opacity 梯度偏大 3.5 倍。

为什么这种 bug 最难抓

• 符号不变：$\alpha,\sigma\in(0,1)$，两个因子都为正，梯度方向（符号）不受影响，只是幅度错。训练照样收敛，只是慢、糊——没有 NaN、没有发散，常规哨兵全部静默。
• 倍率不是常数：$3.5$ 只是这个采样点的值；一般倍率 $(1-\alpha)/(1-\sigma)$ 随像素变化，连「统一缩放错了」这种表现都没有，曲线看上去只是「收敛质量不太好」。
• 它藏在正确的框架里：链式结构、前向公式全对，错的是一个括号的下标。这类 bug 只能靠数值梯度检验（gradcheck）或对拍抓出来——本系列训练器正是靠 gradcheck 门禁（rel-err < 1e-3）在评审阶段拦下的。

符号约定提醒

全系列统一：$o$ 或 $\sigma$ 指 sigmoid 激活后的不透明度参数（$\in(0,1)$），$\alpha$ 指乘上高斯求值项之后的像素级不透明度。$\alpha = o\cdot e^{\mathrm{power}}$，两者一般不相等——这个区分是本坑的根源。

参考

• 3D Gaussian Splatting 论文