一维高斯（Gaussian / 正态分布）
密度函数的两处 σ
一维高斯的概率密度函数（PDF）：
f ( x ) = 1 2 π σ exp ( − x 2 2 σ 2 ) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) f ( x ) = 2 π σ 1 exp ( − 2 σ 2 x 2 )
σ \sigma σ
指数里的 2 σ 2 2\sigma^2 2 σ 2 ：管宽度。x = ± σ x = \pm\sigma x = ± σ e − 1 / 2 ≈ 0.607 e^{-1/2} \approx 0.607 e − 1/2 ≈ 0.607 σ \sigma σ 前面的系数 1 / ( 2 π σ ) 1/(\sqrt{2\pi}\sigma) 1/ ( 2 π σ ) ：管高度。峰值就在 x = 0 x=0 x = 0 1 / ( 2 π σ ) 1/(\sqrt{2\pi}\sigma) 1/ ( 2 π σ )
两处 σ \sigma σ σ × 2 \sigma \times 2 σ × 2
容易混淆：σ 还是 σ²
方差（variance）是 σ 2 \sigma^2 σ 2 σ \sigma σ 2 σ 2 2\sigma^2 2 σ 2 协方差矩阵的特征值 λ \lambda λ σ 2 \sigma^2 σ 2 a a a σ \sigma σ （λ = a 2 \lambda = a^2 λ = a 2
3DGS 用的高斯不归一化
注意一个本系列的关键事实：3DGS 里的三维高斯不带前面的归一化系数 ，直接写
G ( x ) = exp ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) G(x) = \exp\!\left(-\tfrac{1}{2}(x-\mu)^T\,\Sigma^{-1}\,(x-\mu)\right) G ( x ) = exp ( − 2 1 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) )
中心处值恒为 1，胖瘦全由 Σ \Sigma Σ o o o o o o
参考
从曲线到椭球：等值面为何是椭球
多维高斯的一般形式
d d d
G ( x ) = exp ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) G(\mathbf{x}) = \exp\!\left(-\tfrac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu)^T\,\Sigma^{-1}\,(\mathbf{x}-\mu)\right) G ( x ) = exp ( − 2 1 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) )
μ ∈ R d \mu \in \mathbb{R}^d μ ∈ R d Σ ∈ R d × d \Sigma \in \mathbb{R}^{d\times d} Σ ∈ R d × d 指数里的二次型 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) (\mathbf{x}-\mu)^T\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\mu) ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) 马氏距离（Mahalanobis distance）的平方 ，它把”离中心多远”按各方向的散开程度做了归一
横切一刀：等值线的形状
在高度 h h h G ( x ) = h G(\mathbf{x}) = h G ( x ) = h
( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) = − 2 ln h (\mathbf{x}-\mu)^T\,\Sigma^{-1}\,(\mathbf{x}-\mu) = -2\ln h ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) = − 2 ln h
左边是 x \mathbf{x} x 中心在 μ \mu μ 。
二维：同心椭圆，所有等高线形状相同，只是整体缩放
三维：同心椭球（等值面，isosurface）
切得越低（h h h
“切出一圈圈同心椭圆”不是动画的艺术处理，是二次型等值面的必然结果：高斯的等值面永远是椭球 ，区别只在大小。
三根主轴从哪来
椭球的形状（朝向 + 三根半轴长）完全由 Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ − 1 Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ − 1 Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ
易错点
等值面方程里是 Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ − 1 Σ \Sigma Σ 。直接看 Σ \Sigma Σ λ \lambda λ Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ − 1 椭球是”等值面”，不是高斯的”边界” 。高斯在全空间都非零，没有硬边界；渲染时看到的椭球轮廓来自截断（如 2.83 σ 2.83\sigma 2.83 σ 3 σ 3\sigma 3 σ 特征分解（Eigendecomposition）= 主轴说明书
谱定理
任何实对称矩阵都能正交对角化。协方差矩阵 Σ \Sigma Σ 3 × 3 3\times3 3 × 3
Σ = R d i a g ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) R T \Sigma = R\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\,R^T Σ = R diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) R T
R R R R T R = I R^TR = I R T R = I 特征向量 按列排进去，就是椭球三根主轴的方向λ i \lambda_i λ i 特征值 ，实数且非负习惯上按 λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \lambda_3 λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 λ 1 \lambda_1 λ 1
几何读法：先把标准球沿坐标轴按 λ i \sqrt{\lambda_i} λ i d i a g \mathrm{diag} diag R R R R R R λ \lambda λ
为什么特征值是半轴长的”平方”
等值面方程（见上一块）是 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) = k 2 (\mathbf{x}-\mu)^T\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\mu) = k^2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) = k 2 i i i v i \mathbf{v}_i v i t t t Σ − 1 v i = λ i − 1 v i \Sigma^{-1}\mathbf{v}_i = \lambda_i^{-1}\mathbf{v}_i Σ − 1 v i = λ i − 1 v i
t 2 ⋅ 1 λ i = k 2 ⇒ t = k λ i t^2 \cdot \frac{1}{\lambda_i} = k^2 \quad\Rightarrow\quad t = k\sqrt{\lambda_i} t 2 ⋅ λ i 1 = k 2 ⇒ t = k λ i
即第 i i i a i = k λ i a_i = k\sqrt{\lambda_i} a i = k λ i k k k k k k 半轴长 a i = λ i a_i = \sqrt{\lambda_i} a i = λ i λ i = a i 2 \lambda_i = a_i^2 λ i = a i 2 。
本系列的符号约定正是据此定的：λ \lambda λ σ 2 \sigma^2 σ 2 a a a σ \sigma σ Σ = R d i a g ( a 2 ) R T \Sigma = R\,\mathrm{diag}(a^2)\,R^T Σ = R diag ( a 2 ) R T d i a g \mathrm{diag} diag
“Σ 不描述点在哪”
Σ \Sigma Σ μ \mu μ Σ \Sigma Σ μ \mu μ q q q s s s
易错点
特征值非负 ≠ 特征值是轴长 。λ = a 2 \lambda = a^2 λ = a 2 λ 1 = 0.09 \lambda_1 = 0.09 λ 1 = 0.09 0.3 0.3 0.3 R R R R R R i i i i i i 反过来用：给一个椭球，量出三根主轴方向排成 R R R d i a g ( a 2 ) \mathrm{diag}(a^2) diag ( a 2 ) Σ \Sigma Σ
参考
手算：绕 z 轴转 45°
题目设定
二维椭球，两根半轴沿 x x x y y y a 1 = 0.3 a_1 = 0.3 a 1 = 0.3 a 2 = 0.1 a_2 = 0.1 a 2 = 0.1
Σ = d i a g ( 0.3 2 , 0.1 2 ) = ( 0.09 0 0 0.01 ) \Sigma = \mathrm{diag}(0.3^2,\ 0.1^2) = \begin{pmatrix} 0.09 & 0 \\ 0 & 0.01 \end{pmatrix} Σ = diag ( 0. 3 2 , 0. 1 2 ) = ( 0.09 0 0 0.01 )
绕 z z z θ = 45 ° \theta = 45° θ = 45° c = cos θ c = \cos\theta c = cos θ s = sin θ s = \sin\theta s = sin θ c = s = 2 2 ≈ 0.707 c = s = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0.707 c = s = 2 2 ≈ 0.707
R = ( c − s s c ) R = \begin{pmatrix} c & -s \\ s & c \end{pmatrix} R = ( c s − s c )
搬运律：Σ′ = R Σ Rᵀ
旋转一个分布，协方差按 Σ ′ = R Σ R T \Sigma' = R\,\Sigma\,R^T Σ ′ = R Σ R T
Σ 11 ′ = c 2 λ 1 + s 2 λ 2 = 0.5 ( 0.09 + 0.01 ) = 0.05 \Sigma'_{11} = c^2\lambda_1 + s^2\lambda_2 = 0.5\,(0.09 + 0.01) = 0.05 Σ 11 ′ = c 2 λ 1 + s 2 λ 2 = 0.5 ( 0.09 + 0.01 ) = 0.05
非对角元素：
Σ 12 ′ = c s ( λ 1 − λ 2 ) = 0.5 ( 0.09 − 0.01 ) = 0.04 \Sigma'_{12} = cs\,(\lambda_1 - \lambda_2) = 0.5\,(0.09 - 0.01) = 0.04 Σ 12 ′ = cs ( λ 1 − λ 2 ) = 0.5 ( 0.09 − 0.01 ) = 0.04
于是：
Σ ′ = ( 0.05 0.04 0.04 0.05 ) \Sigma' = \begin{pmatrix} 0.05 & 0.04 \\ 0.04 & 0.05 \end{pmatrix} Σ ′ = ( 0.05 0.04 0.04 0.05 )
旋转把对角阵转出了非零的非对角项——非对角元素的出现只说明主轴不再对齐坐标轴 ，不代表形状变了。
验算：特征值原封不动
对 ( p q q p ) \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix} ( p q q p ) p ± q p \pm q p ± q 45 ° 45° 45° − 45 ° -45° − 45°
λ 1 ′ = 0.05 + 0.04 = 0.09 , λ 2 ′ = 0.05 − 0.04 = 0.01 \lambda'_1 = 0.05 + 0.04 = 0.09, \qquad \lambda'_2 = 0.05 - 0.04 = 0.01 λ 1 ′ = 0.05 + 0.04 = 0.09 , λ 2 ′ = 0.05 − 0.04 = 0.01
与最初的 0.09 0.09 0.09 0.01 0.01 0.01
更快的核验：两个旋转不变量
不用解特征方程，两步心算就能确认没算错：
迹不变 ：t r Σ ′ = 0.05 + 0.05 = 0.10 = 0.09 + 0.01 \mathrm{tr}\,\Sigma' = 0.05 + 0.05 = 0.10 = 0.09 + 0.01 tr Σ ′ = 0.05 + 0.05 = 0.10 = 0.09 + 0.01 行列式不变 ：det Σ ′ = 0.05 2 − 0.04 2 = 0.0009 = 0.09 × 0.01 \det\Sigma' = 0.05^2 - 0.04^2 = 0.0009 = 0.09 \times 0.01 det Σ ′ = 0.0 5 2 − 0.0 4 2 = 0.0009 = 0.09 × 0.01
相似变换 R Σ R T R\Sigma R^T R Σ R T
易错点
搬运方向 ：把坐标系旋转和把物体旋转用反，会得到 Σ ′ = R T Σ R \Sigma' = R^T\Sigma R Σ ′ = R T Σ R 45 ° 45° 45° 30 ° 30° 30° R R R R R R R T R^T R T c s = 0.5 cs = 0.5 cs = 0.5 45 ° 45° 45° Σ 12 ′ = c s ( λ 1 − λ 2 ) = 1 2 sin 2 θ ( λ 1 − λ 2 ) \Sigma'_{12} = cs(\lambda_1-\lambda_2) = \tfrac12\sin 2\theta\,(\lambda_1-\lambda_2) Σ 12 ′ = cs ( λ 1 − λ 2 ) = 2 1 sin 2 θ ( λ 1 − λ 2 ) 一个高斯，十四个数
参数清单
组 记号 个数 存储形式 使用前 位置 μ \mu μ 3 世界坐标，米 直接用 旋转 q q q 4 四元数（quaternion） 归一化后转 R ( q ) R(q) R ( q ) 尺度 s s s 3 对数尺度 （log-scale）a = e s a = e^s a = e s 不透明度 o o o 1 logit 过 sigmoid 得 α ∈ ( 0 , 1 ) \alpha \in (0,1) α ∈ ( 0 , 1 ) 颜色 SH-DC 3 球谐直流分量 c = 0.5 + C 0 ⋅ f d c c = 0.5 + C_0 \cdot f_{dc} c = 0.5 + C 0 ⋅ f d c
合计 3 + 4 + 3 + 1 + 3 = 14 3+4+3+1+3 = 14 3 + 4 + 3 + 1 + 3 = 14
为什么一半参数都”存的不是用的”
三个参数组在硬盘里都是编码形式 ，使用前各过一次解码：
尺度存对数 ：s = ln a s = \ln a s = ln a a = e s a = e^s a = e s ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) ( 0 , + ∞ ) s s s a a a scale_0..2 字段存的就是 s s s s = − 1 ⇒ a = e − 1 ≈ 0.37 s=-1 \Rightarrow a = e^{-1} \approx 0.37 s = − 1 ⇒ a = e − 1 ≈ 0.37 exp 还原——认错了轴长差出数量级。不透明度存 logit ：o = l o g i t ( α ) = ln α 1 − α o = \mathrm{logit}(\alpha) = \ln\frac{\alpha}{1-\alpha} o = logit ( α ) = ln 1 − α α α = σ ( o ) = 1 1 + e − o \alpha = \sigma(o) = \frac{1}{1+e^{-o}} α = σ ( o ) = 1 + e − o 1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) o p a c i t y = − 2.197 \mathrm{opacity} = -2.197 opacity = − 2.197 α = 0.1 \alpha = 0.1 α = 0.1 颜色存原始 SH 系数 ：f d c f_{dc} f d c 0.5 0.5 0.5 之前 的系数，显示时才算 c = 0.5 + C 0 ⋅ f d c c = 0.5 + C_0 \cdot f_{dc} c = 0.5 + C 0 ⋅ f d c
共同动机：把有约束的量（正数、( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ，梯度下降随便走都不会越界。这是整条参数化设计的同一个套路。
七个数管形状，多出的一个是伏笔
形状 = 3 个轴长 + 3 个旋转自由度 = 6 个自由度，却存了 4 + 3 = 7 4+3=7 4 + 3 = 7 ∥ q ∥ = 1 \|q\| = 1 ∥ q ∥ = 1
易错点
s s s a a a s s s a = e s a = e^s a = e s Σ \Sigma Σ o o o α \alpha α o o o 七数 vs 六数：为什么不直接优化协方差
六数方案的诱惑与陷阱
3 × 3 3\times3 3 × 3 协方差矩阵必须（半）正定 ，而”对称 + 6 个自由实数”保证不了这一点。
梯度下降每一步都对 6 个数做无约束扰动，没有任何机制拦住它走出正定区域。一旦走出：
某个特征值 λ i < 0 \lambda_i < 0 λ i < 0
半轴长 a i = λ i a_i = \sqrt{\lambda_i} a i = λ i
前向渲染里 Σ \Sigma Σ
要靠约束补救（每步投影回正定锥、加惩罚项），实现和调参都更麻烦。
七数方案：正定性免费
Σ = R ( q ) d i a g ( a 1 2 , a 2 2 , a 3 2 ) R ( q ) T \Sigma = R(q)\,\mathrm{diag}(a_1^2, a_2^2, a_3^2)\,R(q)^T Σ = R ( q ) diag ( a 1 2 , a 2 2 , a 3 2 ) R ( q ) T
用 7 个参数合成 Σ \Sigma Σ
R ( q ) R(q) R ( q ) ∥ q ∥ = 1 \|q\|=1 ∥ q ∥ = 1 a i = e s i a_i = e^{s_i} a i = e s i e e e ⇒ λ i = a i 2 > 0 \Rightarrow \lambda_i = a_i^2 > 0 ⇒ λ i = a i 2 > 0
无论优化器把 q q q s s s Σ \Sigma Σ 天生对称正定 ——正定约束不是外加的，是参数化方式自带的。这就是”正定性免费保证”的准确含义。
附带收益一：参数解耦
想旋转只改 q q q s s s
附带收益二：对数尺度的梯度行为
a = e s a = e^s a = e s d a d s = a \dfrac{da}{ds} = a d s d a = a d a a = d s \dfrac{da}{a} = ds a d a = d s s s s a a a a a a
易错点
“六个自由度存七个数”不是浪费是代价 ：四元数的 ∥ q ∥ = 1 \|q\|=1 ∥ q ∥ = 1 d i a g \mathrm{diag} diag a 2 a^2 a 2 a a a Σ \Sigma Σ λ = a 2 \lambda = a^2 λ = a 2 a = e s a = e^s a = e s d i a g \mathrm{diag} diag e 2 s e^{2s} e 2 s s → a → λ s \to a \to \lambda s → a → λ 严格说 R d i a g ( a 2 ) R T R\,\mathrm{diag}(a^2)\,R^T R diag ( a 2 ) R T a a a a = e s > 0 a = e^s > 0 a = e s > 0
参考
四元数（Quaternion）：旋转的压缩编码
构造式：从 q 到 R
本系列约定 q = ( x , y , z , w ) q = (x, y, z, w) q = ( x , y , z , w ) w w w ∥ q ∥ = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 \|q\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2+w^2} = 1 ∥ q ∥ = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 3 × 3 3\times3 3 × 3
1-2(y^2+z^2) & 2(xy-wz) & 2(xz+wy) \\
2(xy+wz) & 1-2(x^2+z^2) & 2(yz-wx) \\
2(xz-wy) & 2(yz+wx) & 1-2(x^2+y^2)
\end{pmatrix}$$
只有乘法和加法，抄下来就能算，GPU 上极便宜。这就是它压过欧拉角（有万向锁、要算三角函数）和直接存 $R$（9 个数、6 个正交约束）的原因：4 个数、1 个约束，换 3 个旋转自由度。
## 怎么自查它是个旋转
旋转矩阵的充要条件：$R^TR = I$ 且 $\det R = 1$。不用全推，快查两条：
- **每行每列都是单位向量**：以第一行为例，$(1-2y^2-2z^2)^2 + 4(xy-wz)^2 + 4(xz+wy)^2$，在 $\|q\|=1$ 下展开化简恰为 1
- 对角项对称地写成 $1 - 2(\text{另外两个分量的平方和})$，是这套公式最好记的指纹
## 模长不为一，会发生什么
公式里每一项都隐含用了 $x^2+y^2+z^2+w^2 = 1$（对角项 $1-2(y^2+z^2)$ 就是拿这个等式化出来的）。若 $\|q\| = k \neq 1$，矩阵各元素以 $k^2$ 的比例失真，结果**既不是缩放旋转也不是旋转**——行列不再归一、不再正交，合成的 $\Sigma$ 形状直接坏掉。
这不是理论吓唬人：实际工程里遇到过导出工具（nerfstudio）写出的四元数未归一化，实测模长最大到 4.3，加载后必须重新归一化 $q \leftarrow q/\|q\|$ 才能用。读取任何来源的 $q$，先查模长，是成本最低的防御。
## 一个数学事实：q 和 −q 是同一个旋转
四元数对旋转是"双重覆盖"：$q$ 与 $-q$ 代入构造式得到完全相同的 $R$（每一项都是分量两两相乘，同号翻转全部抵消）。训练时同一个椭球的 $q$ 在正负之间跳来跳去不是 bug；但如果对两个四元数做插值/平均，要先对齐符号（点积为负则翻一个），否则插值会绕远路。
## 参考
- [四元数与三维旋转（维基百科）](https://zh.wikipedia.org/wiki/四元数与三维旋转)
- [Quaternions and rotation sequences（Kuipers, 经典教材章节）](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation) 颜色：平均色与那个 0.5
为什么 RGB 三个数不够
固定 RGB 意味着颜色与观察方向无关（view-independent），哑光墙面够用；金属、车漆、高光的颜色随视角变化，三个数表达不了。3DGS 的方案：把每个高斯的颜色写成观察方向 d d d ，用球谐（Spherical Harmonics, SH）基展开。
球谐展开的结构
c ( d ) = 0.5 + ∑ l , m S l m Y l m ( d ) c(d) = 0.5 + \sum_{l,m} S_{lm}\, Y_{lm}(d) c ( d ) = 0.5 + ∑ l , m S l m Y l m ( d )
Y l m ( d ) Y_{lm}(d) Y l m ( d ) l l l S l m S_{lm} S l m l = 0 l=0 l = 0 直流项 DC ）是常数基 Y 00 Y_{00} Y 00 平均色 ；l ≥ 1 l \ge 1 l ≥ 1
本集只存 DC（3 个数，RGB 各一个系数）。完整版展开到 3 阶：每通道 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1+3+5+7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 = 16 f_rest 字段），那时一个高斯是 14 + 45 = 59 14 + 45 = 59 14 + 45 = 59
式子里的 0.5 是什么
原版实现里 0 阶只有一项常数基 Y 00 = C 0 Y_{00} = C_0 Y 00 = C 0
C 0 = 1 2 π ≈ 0.2821 C_0 = \frac{1}{2\sqrt\pi} \approx 0.2821 C 0 = 2 π 1 ≈ 0.2821
所以只含 DC 时颜色公式具体化为：
c = 0.5 + C 0 ⋅ f d c c = 0.5 + C_0 \cdot f_{dc} c = 0.5 + C 0 ⋅ f d c
关键点：f d c f_{dc} f d c f_dc 字段就是它）。加 0.5 的作用是把零点挪到中灰：f d c = 0 f_{dc} = 0 f d c = 0 0.5 0.5 0.5
漏掉 0.5 的真实代价
这不是理论细节。自研训练器的前向着色器曾写成 col = C0·dc（漏了 +0.5），结果：训练 loss 照样降——优化器把全体 dc 系数抬高约 + 1.77 +1.77 + 1.77 0.5 / C 0 ≈ 1.77 0.5/C_0 \approx 1.77 0.5/ C 0 ≈ 1.77 正确的 查看器，整幅画面泛白雾。教训：渲染公式里的常数偏移也是契约的一部分，训练端和显示端必须逐字一致。
易错点
f d c f_{dc} f d c 0.5 + C 0 ⋅ f d c 0.5 + C_0 \cdot f_{dc} 0.5 + C 0 ⋅ f d c f_dc 直接当 RGB 显示会整体偏暗/溢出。DC 是平均色，不是主色/基色 ：它是所有方向上的方向平均，高阶项在此基础上按视角修正。C 0 ≈ 0.2821 C_0 \approx 0.2821 C 0 ≈ 0.2821
参考